an=(1/n) ln(n)

No es una respuesta, pero es mi primer intento ...
Utilizando el criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)
a(n)=(1/n) ln(n)
L=lim( a(n+1) / a(n) ), donde en el límite n al infitinito.
Veamos:
L=lim( (1/(n+1)) ln(n+1) / (1/n) ln(n) )
L=lim( (n/n+1)*(ln(n+1)/ln(n)) )
L=lim(n/n+1) * lim(ln(n+1)/ln(n))
L=1*lim(ln(n+1)/ln(n))
Usando la regla de L'Hospital:
L=1*lim( 1/(n+1) / (1/n) ) ... pues si f(x)=ln(n) -> f'(x)=1/x;
Entonces:
L=1*lim(n/n+1)
L=1*1
L=1
Segun el criterio usado:
si L < 1, la serie converge.
si L > 1, entonces la serie diverge.
si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio ...